Piše se i jedno i drugo.

Glagoli proždreti i prožderati su ravnopravni.
Glagol proždreti u prezentu glasi proždrem-proždreš-proždre-proždremo-proždrete-proždru (buduće vreme proždreću), a glagol prožderati glasi prožderem-proždereš-proždere-prožderemo-prožderete-prožderu (buduće vreme prožderaću).
Pogrešno je proždrati-proždraću.